IL CONCETTO DI NUMERO

Il concetto di numero ha creato problemi su problemi all'uomo. Esso porta a quantificare ogni cosa. Una delle prime attività matematiche dell'uomo è stata senza dubbio l'operazione del 'contare'. Essa consiste in una serie di procedimenti e limitazioni che possono essere così riassunti: assegnare ordinatamente a ogni oggetto di una data raccolta un numero, in modo tale che a ogni oggetto spetti un ben preciso numero e uno soltanto, iniziando dal numero uno (sempre che vi sia un oggetto caratterizzabile come 'ultimo'). Nella matematica tradizionale si hanno le seguenti classi di numeri:

numeri interi assoluti numeri interi relativi. razionali assolutinumeri razionali relativi. reali assoluti numeri reali relativi numericomplessi. I numeri interi assoluti vengono chiamati anche numeri naturali. In questo quadro, le classi sono disposte in modo che ognuna di esse è contenuta in tutte quelle che le stanno scritte sotto e, se scritta a sinistra, è contenuta anche in quella che le sta scritta a destra e in quella nelle righe successive. Per definire tutte le classi di numeri si può partire dalla classe dei numeri naturali e, con successivi ampliamenti verso destra e verso il basso, invadere tutto il quadro; oppure partire dai numeri complessi e con successive selezioni invadere tutto il quadro verso l'alto e verso sinistra. Le classi dei numeri razionali relativi, dei numeri reali relativi e dei numeri complessi hanno particolare interesse perché in esse sono possibili le 4 operazioni razionali dirette (addizione e moltiplicazione) e inverse (sottrazione e divisione) purché nella divisione il divisore sia ≠0: per questo esse prendono il nome di campi di razionalità o corpi numerici.

L'operazione del contare fornisce un legame molto intuitivo tra i due concetti di numero come ordinale (atto a stabilire un ordine all'interno di una successione) e numero come cardinale (cioè numero che indica la quantità di oggetti facenti parte di una determinata raccolta). Si può notare infatti che il numero che viene associato all'ultimo elemento indica anche la quantità degli oggetti che si sono contati. L'operazione del contare è indubbiamente nata da esigenze di carattere pratico; essa ha solo successivamente portato a due problemi: a) definizione di nomi astratti con i quali indicare i numeri, indipendentemente dal genere degli oggetti della raccolta; b) invenzione di segni grafici atti a simbolizzare questi numeri.

Possiamo qui immediatamente ricordare che di solito si chiamano numerali i complessi di simboli utilizzati per indicare numeri. Va dunque ben evidenziata la differenza tra i due concetti di numero e di numerale. L'uomo si accorse lentamente della possibilità di ottenere con scritture limitate a pochi segni numeri molto grandi. Si spiegano forse così i primi sistemi di numerazione cinese (famoso il sistema 'bastoncino'), sumero-babilonese, egizio, greco (nel quale le lettere alfabetiche fungevano anche da segni numerali), maya ecc.

Tutti i sopraddetti e il sistema romano (forse il più noto) erano null'altro che tentativi di indicare numeri con segni, ricorrendo a leggi di formazione tali da ridurre la lunghezza delle scritture entro limiti accettabili. Ma, prima i Sumeri e poi soprattutto gli Indiani, si accorsero che si poteva ridurre il numero dei segni necessari e tuttavia scrivere numeri comunque grandi stabilendo non solo il valore del singolo segno, ma anche assegnando un valore alla posizione nella quale quel segno appariva. Fece così la sua comparsa nel mondo il sistema posizionale, una delle più semplici ma anche delle più potenti invenzioni dell'uomo.

Un esempio: utilizzando due soli segni (ad esempio i segni universalmente usati oggi per 'due' e per 'tre') possiamo scrivere due numerali diversi (23 e 32) i quali, pur facendo uso di segni identici, indicano però numeri diversi proprio perché i due segni usati appaiono in posizione diversa.

Poiché l'idea di numero proviene da quella di contare e questa ha bisogno di un supporto concreto (oggetti da contare), a lungo l'uomo non si accorse dell'idea di 'zero', cioè di un numero che misura una quantità di oggetti... priva di oggetti. Fu più avvertito il bisogno di introdurre questa idea quando ci si accorse che per scrivere numerali lunghi faceva comodo avere un segno che indicasse un posto vuoto. Per fare un esempio, si pensi al numero duecentotre ed alla difficoltà che avremmo di scrivere il numerale corrispondente qualora non possedessimo alcun segno per indicare il posto vuoto delle decine. A lungo gli uomini adottarono questa strategia: scrivere duecentotré o ventitré o duemilatrecento sempre nello stesso modo, come se oggi noi scrivessimo sempre 23. Chi leggeva, doveva capire il significato di quel numerale in base al discorso. Ma questo, ovviamente, produceva parecchia confusione. Fu così che gli Indiani arrivarono a concepire l'idea di numero zero e ad usare un tondino per indicarne il corrispondente numerale. Gli Arabi, che divulgarono quest'idea in Europa verso il XIII secolo, chiamarono zifr questo numero; in Europa questa parola venne tradotta cifra ma venne ad indicare una cosa diversa. Con 'cifra', infatti, noi oggi intendiamo ciascuno dei dieci simboli numerali tra loro distinti tramite i quali possiamo costruire ciascun numerale, proprio sfruttando combinazioni diverse di essi e distinguendo il valore relativo al posto occupato da ciascuna cifra.